Specialarbetet om Kaosteorin

-Läs och Lär-

Sammanfattning

Kaosteorin är den yngsta av de större naturvetenskapliga områdena. Vad som tidigare hindrat forskningen inom detta område har varit bristen på avancerade räknemaskiner. I och med datorernas snabba utveckling har också kaosforskningen kunnat ta fart. Kaos är, i det här sammanhanget, inte ett generellt uttryck för oordning, utan ett tvärvetenskapligt sätt att förklara naturens egenskaper att vara omöjlig att kunna förutsägas och kartläggas in i minsta detalj. Kaosteorin kallas också, lite otympligt, teorin om dynamiska, icke-linjära system. Exempel på ett sådant system är vädret; ett komplicerat, naturligt system som inte kan förutsägas mer än någon dag i förväg. När man studerar dessa system tar man hjälp av differentialekvationer och fraktalbilder för att visualisera och beräkna systemens egenskaper och deras begränsande attraktorer. Områden, inom vilka kaosforskningens landvinningar är användbara är vid beräkningen av ekonomiska fluktuationer, djurpopulationer, smittspridningar, m m.

Syfte

Syftet med detta specialarbete är att tolka, sammanfatta och omformulera de grundläggande tankegångarna inom kaosforskningen. Informationen skall härmed bli lätttillgänglig för de som inte är speciellt bevandrade inom de naturvetenskapliga kunskapsområdena, men som ändå har ett intresse i dem och vill lära sig mer. De delar av kaosteorin som presenteras här skall ligga på en sådan nivå att en elev på nv- programmet, som inte annars kommer i kontakt med dem, förstår dem. Den som har stött på färgglada och fascinerande fraktalbilder skall, efter att ha läst detta specialarbete, kunna förstå hur de framställs, vad de representerar, vilken roll de spelar för kaosforskningen, och vice versa.

1 Kaosteorin

1.1 Inledning

Kaosteorin, dynamisk systemteori, studiet av icke-linjära system eller komplexa adaptiva system, som det också kallas, har något av en halo av mystik kring sig. Detta kan komma sig av att det är ett tvärvetenskapligt forskningsområde men egentligen inte passar in i något klassiskt fack, vilket de flesta andra naturvetenskapliga inriktningar gör. Vid en internetsökning på kaos, eller dess engelska motsvarighet, dyker en hel uppsjö av mer eller mindre suspekta och suggestiva tips upp, av vilka de flesta passar bäst i kategorier som kultur, musik eller till och med ockultism; inte naturvetenskap. Detta mycket tack vare den något anarkistiska betydelsen av ordet kaos. Kaos är alltså något övergripande, som har sina verkningar inom fysiken, biologin, ekonomin, matematiken, m m. En annan anledning till att folk ibland lägger pannan i veck när man nämner kaosteorin är att de flesta inte har hört talas om det tidigare. Detta på grund av dess ringa ålder. Påverkas man som gemene man/kvinna av kaos? Nej, det anser inte jag, personligen. Kaosteorin är något av en tankeställare som varje inbiten teoretiker bör ta sig varje gång han bevisar naturens gång med formler och tabeller som ger exakta värden.

1.2 Begrepp man bör känna till först

Det finns en rad begrepp inom matematiken och fysiken som man måste känna till och förstå för att tillgodogöra sig detta specialarbete. Om man inte känner på sig att man förstår den vetenskapliga betydelsen av dessa ord, så kan man här nedan läsa till sig kunskap om deras innebörd.

1.2.1 System

Ett system består av flera komponenter som interagerar, eller växelverkar, med varandra. Det kan exempelvis vara så enkelt som en hög stenar. Det som får stenhögen att bli ett system är att stenarna påverkar varandra. Flyttar man på en av stenarna i högen ändras förhållandena kring de övriga. Skulle stenarna ligga utströdda och inte vidröra varandra, så skulle de inte längre påverka varandra, och således inte heller kallas ett system.

1.2.2 Modell

Ett system kan reproduceras i en modell, om man vet hur och vilka krafter som påverkar de olika komponenterna i det ursprungliga systemet. För att göra en modell av det tidigare nämnda exemplet stenhögen behöver man lika många stenar med exakt samma vikt, form och yta som de i det ursprungliga systemet. Sedan måste man stapla dem, så att de ligger i exakta motsvarande positioner, för att modellen skall vara komplett. Man skulle också kunna tänka sig att göra en teoretisk modell, där man istället räknar ut vikt, form, yta och krafter mellan stenarna. På senare tid används ofta datorsimulationer som modeller. Med avancerade program som innehåller hållfasthetslära, materiallära, diverse fysikaliska lagar m m kan exempelvis Volvo krocka bilar i cyberrymden, och rätta till de stora konstruktionstabbarna innan man gör de avslutande säkerhetstesten i levande livet (med dockor).

1.2.3 Linjärt och icke-linjärt

Dessa begrepp används för att beskriva system av olika natur. De linjära systemen är de enkla. Exempelvis: en kola kostar en krona, jag har tio kronor som jag köper kolor för; jag har tio kolor när jag handlat. I ett xy-diagram skulle det vara en rak linje som beskriver hur många kolor jag får där axlarna representerar kolor och kronor. Alltihop är väldigt förutsägbart. Ser man istället på en fabrik som tillverkar muttrar, så borde det råda ett linjärt förhållande mellan antalet arbetare och producerade muttrar. En fabriksföreståndare vet att verkligheten är annorlunda. Mutterantalet påverkas av många olika faktorer; dessa kan vara arbetarnas lunch, hur pigga de är, om maskinerna är slitna, etc. Fabriken är alltså i verkligheten ett icke- linjärt system. När man gör modeller av något verkligt så tar man en del saker för givet. Man generaliserar en aning, för att modellen skall bli enklare att tillverka och lättare att förstå. Alla dessa förenklingar görs för att systemet skall bli så linjärt som möjligt.

1.2.4 Differentialekvationer

En differentialekvation är en ekvation som innehåller en eller flera derivator till en okänd funktion. Ordningen, eller graden, på en differentialekvation bestäms beroende på vilken derivata den innehåller. En andra ordningens differentialekvation innehåller ingen derivata högre än andraderivatan, en första ordningens differentialekvation innehåller således ingen annan sorts derivata än förstaderivatan. Differentialekvationer används ofta för att beskriva och beräkna händelser i naturen, då naturen bjuder oss så många komplicerade förlopp med varierande hastigheter, accelerationer, m m. Tyvärr kan man inte lösa alla differentialekvationer så att man får ett entydigt svar. Det är framför allt de olösliga ekvationerna som är intressanta för kaosforskningen.

1.3 Historia

1.3.1 Tiden fram till och med upplysningstiden

I alla tider har människor fruktat och fascinerats av kaos, den yttersta oordningen. Ordet härstammar ursprungligen ur den antika grekiskan. Där användes det för att beskriva vad som fanns innan ordning, kosmos, hade uppstått. Kaos var i den grekiska mytologin skaparen av det mörka och onda. I Egypten var guden Set (Sutech) kaosgud och ett förkroppsligande av direkt fiendeskap och ren och skär ondska. Det finns ingen entydig bild av hur han ser ut, men alla försök att avbilda honom har det gemensamt att de ingjuter respekt och fruktan i betraktaren. I och med upplysningstiden tappade folkmassorna tilltro i de religiösa förklaringarna på hur universum hängde ihop och de regler som styrde allt. Vetenskapen var det nya, trovärdigare. Sir Isaac Newton var en av de som stod för den deterministiska forskningen, vetenskapen som kan räkna ut reaktioners resultat med hjälp av att känna till ingångsförhållanden och formler som beskriver förhållandet mellan dessa fakta, och vad de leder till. Slump var inget som existerade, och ingenting i vår omgivning hade en fri vilja. I de klassiska vetenskaperna har man försökte beskriva vår omgivning med hjälp av linjära modeller. Tidigare nämnda Newton formulerade de första vetenskapliga lagarna på sent 1600-tal. Dessvärre gav alltid de praktiska laborationerna lite avvikande svar, och ju fler faktorer som spelade in i försöken, desto större blev avvikelserna. Detta var inget man fäste någon större vikt vid; resultaten var i stort sett tillfredsställande, och missvisningarna kunde skyllas på dåliga mätmetoder och illa kalibrerade instrument. När man anammade sig missvisningarna och försökte hitta grunden till dem kallade man dem för brus. Man såg på brus som något oundvikligt. Bruset förklarades som små odefinierade faktorer som egentligen inte påverkade experimentens utgång i någon större utsträckning.

1.3.2 Inledningen till kaosforskningen

En kvantfysiker vid namn Werner Heisenberg resonerade lite kring det som tidigare kallats brus, och formulerade sedan det som kom att kallas Heisenbergs osäkerhetsteori. Denna teori innebar att man kan inte utföra mätningar på ett föremål eller en händelse utan att påverka dess resultat, d v s alla mätningar som görs är till viss del felaktiga, eller approximativa, som de lite rättvisare bör kallas. Inom aerodynamiken kan man lätt tänka sig ett exempel som illustrerar denna teori. Alla vet hur komplicerade vindvirvlar kan vara; ett instrument som mäter dessa virvlars styrka och karaktär påverkar också deras fortsatta rörelse, eftersom de är så instabila i sin natur. Det är denna naturens förmåga att vara oförutsägbar som är stommen i kaosteorin. Det verkar finnas sanningar om livet som är tänkta att vara utom räckhåll för oss nyfikna människor. Filosofiskt sett så skulle all utveckling vara omöjlig om alla system förr eller senare kommer till en stabil punkt.

1.3.3 Edward Lorenz - kaosteorins fader

Edward Lorenz hette en man som efter examen vid Dartmouth College 1938 kände att matematiken var hans kall. Han hade under sin uppväxt alltid föredragit teori framför praktik. Det var för honom ett underhållande tidsfördriv att lösa matematiska problem, som man löser korsord; något hans far såg på med stor glädje. När andra världskriget bröt ut och det amerikanska flygvapnet behövde meteorologer ändrades riktningen på Lorenz karriär, och han började således studera meteorologi istället för matematik, detta på forskarnivå. Vädrets ombytlighet hade alltid fascinerat Lorenz. 1960 jobbade han på MIT, Massachusetts Institute of Technology, och lyckades där framställa ett miniatyrväder i en primitiv Royal McBee dator. Detta dataprogram, som var oerhört mycket enklare än verkligheten, imponerade på kollegorna, och Lorenz gjorde vädersimulationer med väldigt varierande ingångsförhållanden. Han insåg snart att vädret aldrig kan förutspås för annat än en begränsad tid framåt. När astronomer inte kunde förutse planeternas rörelser i vårt solsystem, vilket kan anses vara ett tämligen enkelt fysikaliskt system, hur skulle då meteorologerna kunna se det komplicerade vädret i framtiden? Vädret består ju av så många olika faktorer som interagerar med varandra; lufttryck, nederbörd, fronter, temperatur, vindar etc. Lorenz gav inte upp trots den insikten, han gjorde istället upp ett antal regler för hur vädret uppför sig, där han utgick från de utskrifter hans väderprogram gjorde. Han märkte exempelvis att när utskriften på lufttrycket gick från ett lågt till ett högt värde utan någon "puckel", så hade nästa snarlika ökning en dubbelpuckel. Det var aldrig exakta upprepningar, men det fanns ett tydligt mönster. En ordning i oordningen. Denna ordning, eller egenskap att följa ett mindre noggrant mönster kom att kallas systemets attraktor. Inom alla icke-linjära system finns det en mer eller mindre tydlig attraktor. Ett exempel är en pendels attraktor, vilken är att den alltid rör sig runt en lodlinje, och stannar slutligen hängande i denna linje. Attraktorn är ett slags gräns inom vilken kaos råder; man vet inte exakt hur systemet kommer att uppföra sig, men man vet att det sker inom denna gräns.

1.3.4 Lorenz attraktor

Lorenz ville utveckla sitt resonemang kring de mystiska attraktorerna och sökte då den enklaste formeln som påvisar en sådan. Han fann att ett ekvationssystem med tre variabler som styrs av tre differentialekvationer gav upphov till en linje i ett tredimensionellt ekvationssystem. Denna linje hade de fascinerande egenskaperna att den var oändlig, men upptog ett ändligt rum i det tredimensionella diagrammet. Ursprungligen stötte Lorenz på ekvationerna, s k "Navier-Stokes ekvationer" när han var på jakt efter en ekvation som beskrev ett system av en vätska (eller gas) som värms upp. En rörelse som formelmässigt har många likheter med Lorenz attraktor. Så här kom den slutliga ekvationen för Lorenz attraktor att se ut:

dx/dt = delta* (y - x)

dy/dt = r * x - y - x * x

dz/dt = x * y - b * z

"Delta" står för "Prantl numret", ett värde för förhållandet mellan en vätskas viskositet och dess förmåga att ta till sig värme. Vad man använder för värde på delta är av mindre vikt, men Lorenz använde tio i sin ekvation. Variabeln r står för temperaturskillnaden mellan överkanten och underkanten på systemet. B står i sin tur för förhållandet mellan höjden och bredden i systemet. Lorenz använde i sitt försök 28 som r och 8/3 som b, och det har därför blivit de generella värden man använder vid uppritandet av Lorenz attraktor. Svaren man får fram på x står för rotationshastigheten på vätskecylindrarna, y-svaren för temperaturskillnaden mellan höger och vänster sida på cylindern och z-värdena representerar deviationen från en ponerad rätlinjig graf över temperaturen. En vinterdag 1961 skulle Lorenz dubbelkolla en ovanligt fascinerande "körning" av sitt väderprogram, och valde att för enkelhetens skull börja med värdena han hade halvvägs igenom "körningen". Hans variabler var lagrade med sex decimalers noggrannhet, men han bestämde sig för att avrunda dem till tredje decimalen, då det borde vara av mindre vikt vad som sker i storleksordningen tiotusendel och mindre. Vid jämförelsen av de två utskrifterna från de olika "körningarna" så upptäckte Lorenz att de följdes åt en bit, men att de sedan skildes åt, för att slutligen få helt olika natur. Den första slutsatsen han drog var fel, den var att datorn var trasig, att någon diod hade gått sönder eller något liknande. Nästa slutsats stämde bättre; ju mindre exakta ingångsvärden man har, desto tidigare skiljer sig kurvorna från varandra. Det fanns alltså ingen exakt gräns för när man skulle få två likadana kurvor, för i ett icke-linjärt system så får man olika resultat förr eller senare. Om Lorenz "körningar" hade varit dokumentationer av verkligheten, så hade den ursprungliga avrundningsmissen kunnat motsvaras av en vindpust orsakad av en fjärils vingslag. Vad resultatet kommer bli är alltså helt beroende på hur exakta ursprungsförhållandena är. "Sensitivt beroende av begynnelsevillkoren", som detta fenomen lite fint kallas, var ingen ny företeelse, utan något som länge förekommit i folkliga föreställningar.

"Ett söm föll ur och hästskon föll av;

hästskon föll av och hästen föll omkull;

hästen föll och riddaren föll ur sadeln;

riddaren föll ur sadeln och hären föll undan;

hären föll undan och kungariket föll!"

Ser man nu tillbaka till vädret så är detta oförutsägbart p g a att man inte kan känna till ingångsförhållandena exakt nog. Om man mäter lufttryck, temperatur, etc i hela atmosfären i punkter med en decimeters avstånd, skulle man då kunna förutsäga väderleken? Svaret blir nej. Tids nog skulle de små förändringar som låg mellan mätpunkterna växa sig stora nog att de skulle påverka vädret. Instabiliteten finns i varje punkt i universum och inget icke-linjärt system kommer någonsin till en stabil eller självupprepande punkt. Detta är innebörden av kaosteorin. Denna instabilitet, som finns i varje punkt, kan växa sig så stor att den ändrar på ett sådant givet begrepp som jordens magnetiska nord- och sydända. Man har kunnat räkna ut att jordens magnetiska fält ändrat riktning ett flertal gånger under dess historia, och detta vid väldigt oregelbundna tidpunkter. "Om nu vädret är så instabilt att vi människor inte kan förutsäga det, så borde vi i varje fall kunna åstadkomma förändringar stora nog att kontrollera det", tyckte en av Lorenz äldsta vänner vid MIT, Robert White. Lorenz tyckte annorlunda; du kan förändra vädret så att det blir annorlunda från vad det egentligen skulle blivit, men du kan inte kontrollera vad du får istället. "Det är som att kupera om en redan väl blandad och kuperad kortlek; man får ett annat resultat, kanske är det bättre, kanske är det sämre".

2 Fraktal - bilder av kaos

Man kan fråga sig vad som höll kaosforskningen från att ta fart tidigare än den gjorde. En anledning var ju att ingen funderat kring det så speciellt mycket före det att Lorenz väderprogram, p g a skillnader i tiotusendelarna, gav två divergerande kurvor. En annan är att differentialekvationer kräver starka datorer för att kunna räkna ut alla eventuella lösningar, och sedan plotta dem i ett ekvationssystem.

2.1 Hur fraktal upptäckts och framställs

2.1.1 Det imaginära talplanet

Alla tal består av två delar, en reell och en imaginär. Den imaginära delen i ett tal är ingen praktisk möjlighet, som hörs på dess namn, men kan ändå förklaras. Tar man en jämn rot ur ett negativt tal, så får man fram ett tal som kompletteras med ett i; detta för att visa på att talet är imaginärt. Exempelvis: roten ur -1 är 1i, roten ur -4 är således 2i o s v. Alla tal kan ritas in i ett xy-diagram, det imaginära talplanet, där x- axeln är den reella delen av talet och y-axeln den imaginära. Ett tal som 5-(-4)(1/2), eller 5-2i, skulle hamna på koordinaten (5, -2). De flesta talen i vår tillvaro har en imaginär del som är noll, och skulle deras koordinater plottas i det imaginära talplanet skulle de bara hamna längs med x-axeln, som längs vilken tallinje som helst.

2.1.2 Newtonmetodens komplexa gränser

John Hubbard, en amerikansk matematiker som avskydde gissningar och approxi- mationer, hävdade tjugo år efter att Lorenz offentliggjort de första publikationerna om attraktorer att ingen, med säkerhet, visste om differentialekvationerna åstadkom en attraktor. Han tog därför det enklaste tredjegrads polynom som fanns, X3-1=0, och fann tre lösningar till det. Dessa tre lösningar var:

X1 = 1

X2 = -1/2 + i (3/2)(1/2)

X3 = -1/2 - i (3/2)(1/2)

Inritade i det komplexa talplanet bildar dessa tre en liksidig triangel. Newtons metod, eller Newton-Raphsons metod som den också kallas, används för att hitta lösningar till polynom ekvationer. Metoden går ut på iteration, d v s upprepning av en formel i vilken ett approximativt värde sätts på variabeln i polynomet och svaret sedan används i samma formel, man får då ett nytt värde som används igen, och så vidare. För varje gång man räknar om får man ett nytt värde som ligger ytterligare något närmre en lösning på polynomet. John Hubbard provade diverse värden i det komplexa talplanet för att finna vilka punkter som ledde till vilken lösning på formeln X3-1=0. För att göra det hela mer lättavläst så använde han olika färger för de olika lösningarna; rött, blått, grönt. Hans bild hade stora färgfält kring lösningarna, men ju vid varje gräns mellan två färgfält fanns alltid den tredje färgen representerad i en tredje angränsande punkt. Man kan därför säga att gränserna mellan de olika fälten var oändliga. Tittade man närmre på gränsen mellan två färger fanns alltid den tredje där, och tittade man närmre på "nya" gränsen mellan den tredje och en av de två tidigare färgerna, då fann man den återstående av de tre färgerna i en angränsande punkt. Man kan alltså zooma in mer och mer och hela tiden hitta nya detaljer. Detta kallades Newtonmetodens komplexa gränser. Dessa finns med i alla ekvationer där variablerna har en faktor högre än två.

2.1.3 Mandelbrot- och Juliamängderna

Den allra första att grafiskt framställa fraktaler var Benoit Mandelbrot, en matematisk mångsysslare på datorföretaget IBM, i USA. Han ritade upp Mandelbrotmängden, vilken kom att bli symbolen för kaosforskningen. Mandelbrotmängden var en sammanfattande bild av de redan kända Juliamängderna (se bilden på framsidan). Juliamängderna heter de, då de är döpta efter sin upphovsman, Gaston Julia, en fransk matematiker som levde 1893-1978. Ekvationen för dessa mängder är Zn=Z(n-1)2 + C (n=1, 2, 3,...), där c är en konstant och olika värden på Zn ger oss olika sorters Juliamängder. Dessa kan variera väldigt mycket i utseende. Mandelbrotmängden har samma formel som Juliamängderna, men man låter C variera med iterationerna, och Zn vara konstant 0 (noll). Alla Juliamängderna finns alltså representerade i Mandelbrotmängden. Med Julia- och Mandelbrotmängden utgår man från ett komplext tal och ju fler gånger man utför iterationen, desto mer detaljrik blir bilden. Vissa värden som itereras närmar sig inte en lösning utan rusar istället iväg mot oändligheten. Dessa värden ritar man inte ut alls. Det svarta området i Mandelbrotmängden är tal som inte går mot oändligheten, medan de färgade områdena är de som nästan gränsar mot oändligheten, och randen mellan de färgade och det svarta området är själva Mandelbrotmängden. I och med att man kan zooma in i oändlighet på detta område och hela tiden upptäcka nya "bukter", så är mängden oändlig. De olika färgade områdenas färgtonskala och storlekar bestäms genom att man anger vissa gränsvärden för hur många iterationer som krävs för att talen skall överstiga vissa värden på sin väg mot oändligheten. Mandelbrotmängden med bara synlig information, utan inzoomningar, kräver omkring 6 miljoner uträkningar. Detta är den största anledningen till varför man inte försökte rita upp bilden innan datorerna hade utvecklats.

2.1.4 Typiskt för fraktal

Dessa bilder på Newtonmetodens komplexa gränser kan kallas fraktaler. En annan mer lättritad fraktal är Sierpinskis triangel. Gemensamt för de enkla fraktalerna är att alla delar av fraktalen är en exakt, eller snarlik, kopia av den hela. I oändlighet kan man zooma in och bara se ytterligare djup i bilden, utan att den förändras. De mer komplicerade fraktalerna, som Mandelbrotmängden, visar inte på en exakt bild av helheten; det finns dock hela tiden upprepningar av mönster, insmugna i djungeln av sjöhästsvansar, snirklar och krusiduller.
Bild: I fraktalen Sierpinski´s triangel är varje uppföstorad detalj en exakt kopia av fraktalen i sin helhet.

2.1.5 Naturen är full av fraktala oändligheter

Man kan se på allt i naturen, som man ser på Mandelbrotmängder. Vill man exempelvis vill veta längden på Storbritanniens kust (Skottland och Englands omkrets). Precis som de avancerade fraktalerna så upptäcker man nya bukter, vikar, sprickor och svackor om man tittar närmre på kustremsan. Kustremsan är alltså oändlig, men har ändå en attraktor - Storbritannien har trots allt en ändlig area. I tabeller över länders omkrets står bara en approximativ siffra, vilket är vad man får nöja sig med överallt i naturen om man vill ha ett någorlunda gripbart värde på någonting.

2.2 Fraktal dimension

Fraktalernas dimension är ett sätt att mäta en viss fraktalbilds detaljrikedom, hur mycket längre fraktalens omkrets blir beroende på hur mycket man förstorar bilden, så att säga. Detta räknas ut genom att logaritmen för fraktalens längdökning delas med logaritmen för förändringen i skalan. Om man exempelvis tar en linje som förstoras till dubbla längden så ser uträkningen av dimensionen ut såhär:
Log 2 / Log 2 = 1
Förstorar man en kvadrat två gånger blir dess omkrets 4 gånger längre. Detta ger dimensionen:
Log 4 / Log 2 = 2
I fraktalen Kochs stjärna eller snöflinga ersätter man för varje steg i fraktalen en rak linje ___ med _/\_. Varje kort linje i den nya stjärnan motsvarar 1/3 av den tidigare raka linjen. Dimensionen på stjärnan är alltså:
Log 4 / Log 3 = ~ 1.261

3 Avslutning

Kaosteorin, denna omfattande vetenskap som tagit fart med datorernas utveckling. En djupare vetenskap som kan skönjas bakom de mest vitt spridda rytmer i naturen. Ligger dessa likheter mellan börsens upp- och nedgångar, hjärtats slagrytm, fågelsångens frekvenser och planeternas banor kring solen gömda i en universalformel, utom räckhåll för oss människor. Man har begränsat mörkerområdet till attraktorer, men inte mycket längre. Vi kan alltså idag visa på de icke-linjära systemens generella mönster, men inte förutsäga dem exakt. Kaosteorin har inget med okontrollerad oordning att göra, men med hur man kan mönster i något som är tillsynes slumpartat. Det är det generella beteendet i naturens processer som är det essentiella. Man måste se alla sidor av teorin; inte bara instabiliteten i oförutsägbara system, utan även att det trots allt finns ett stabilt mönster i det oförutsägbara, och att många till synes stabila system är instabila sett under ett längre tidsspann. Att de flesta rytmer i naturen inte kommer till en stabil punkt är något vi skall se på med glatt sinne. Om naturen skulle falla in i ett förutsägbart mönster skulle alla spänningsmoment i tillvaron försvinna. Man skulle till slut komma att förutsäga världsalltets hela framtid, vilket skulle sätta käppar i hjulet för all utveckling, negativ som positiv. Kaoset består helt enkelt i att vad vi människan än försöker att förutse, kommer det aldrig helt stämma, utan förr eller senare divergera från verkligheten.

Källor

* KAOS - vetenskap på nya vägar Gleick, James Bonniers (New York, 1987)

@ What Is Chaos Theory? Michaels, Mark (The Chaos Network, 1995) http://www.prairienet.org/business/ptech/txt/chaostry.html

@ Kaos - eller små fluffiga moln Myolp http://www.darkface.pp.se/~myolp/chaos/kaos.html (Denna källa finns dock ej längre att tillgå på internet)

@ Fractal Frequently Asked Questions and Answers Stepp, Ermel (1995-13-02) http://webpages.marshall.edu/~stepp/fractal-faq/faq.html

@Andrew Ho´s Chaos Theory Home Page Ho, Andrew http://www.students.uiuc.edu/~ag-ho/chaos/chaos.html Andra sidor av Andrew Ho, länkade till denna, har också använts.

* Matematik 2000, kurs E Björk, Lars-Eric; Brolin, Hans Natur och Kultur (Borås, 1996)

@ Seth http://osiris.colorado.edu/LAB/GODS/set.html

* Kvarken & Jaguaren - äventyr i det enkla och det komplexa Gell-Mann, Murray ICA Bokförlag (New York, 1994)

* Kaos Ohlén, Gunnar LIBER (Lund, 1989)

@ Build Your Own Chaos Machine Pickover, Cliff (The Electric Origami Shop, 1995) http://www.ibm.com/Stretch/EOS/chaos.html